Mini-Workshop
Algebraic Geometry
March 29-30, 2018
Institut de Mathématiques de Bourgogne
Program
-
Structure des actions des groupes algébriques connexes
Michel BRION (Institut Fourier, Grenoble)
Abstract
Un résultat classique du à André Weil affirme que toute
action birationnelle d'un groupe algébrique connexe dans une variété
algébrique peut être modifiée en une action birégulière. L'exposé
présentera un raffinement de ce résultat, qui permet (en caractéristique
nulle) de se ramener aux variétés projectives lisses. La démonstration
repose sur un résultat de structure locale des actions birégulières,
dont le principal ingrédient (les fibrés vectoriels homogènes sur
les variétés abéliennes) a un intérêt propre.
-
Sur la conjecture standard de type Hodge pour les variétés abéliennes
Giuseppe ANCONA (IRMA Strasbourg)
Abstract
Soient $S$ une surface et $V$ le $\mathbb{Q}$-espace vectoriel des diviseurs modulo équivalence numérique.
Le produit d'intersection définit un accouplement parfait sur $V$. On sait depuis les années trente qu'il est
de signature $(1,n)$. Dans les années soixante, Grothendieck a conjecturé une généralisation de cet énoncé aux
cycles de codimension quelconque sur des variétés générales. En caractéristique zéro cette conjecture est une
conséquence des relations de Hodge Riemann. En caractéristique positive assez peu est connu.
A l'aide de formules du produit classiques sur les formes quadratiques nous allons traduire cette question
de signature en un problème $p$-adique. Il se trouve que ce dernier peut être attaqué avec la théorie de Hodge $p$-adique.
Cela nous permettra de démontrer la question originale pour les variétés abéliennes de dimension quatre.
-
Un théorème période-indice réel
Olivier BENOIST (ENS Paris)
Abstract
De Jong a prouvé que la période et l'indice d'une classe dans le groupe de Brauer du corps des fonctions d'une surface
complexe coincident. Nous démontrerons le même énoncé pour les classes dans le groupe de Brauer du corps de
fonctions d'une surface réelle qui sont triviales en restriction aux points réels de la surface.
Comme application, on montre que le u-invariant du corps de fonctions d'une surface réelle est égal à 4.
-
Sur l'espace de modules des $G$-torseurs sur une courbe elliptique
Dragos FRATILA (IRMA, Strasbourg)
Abstract
Les fibrés vectoriels sur une courbe elliptique ont ete classifiés par Atiyah dans les années 50 qui en a
donné une jolie description très explicite. Ensuite, L. Tu a donné une description de l'espace de modules de tels
fibrés en fonction des fibrés en droites. En fait, tout fibré vectoriel semistable de degre 0 admet un drapeau
complet tel que tous les quotients successifs soient des fibrés en droites de degre 0. Ceci permet de déduire que
l'espace de modules en degré 0 est la puissance symmetrique de la Jacobienne de la courbe elliptique.
Ce résultat a aussi ete généralisé a d'autres degrés en utilisant une decomposition de type "Jordan-Hoelder".
Plus généralement, pour un groupe réductif quelconque, Laszlo a montré que tout $G$-torseur semistable de degré 0 se
déforme en un T-torseur (tore maximal) de degré 0. Ceci implique que l'espace de modules en degré 0 est
un quotient d'une puissance de la Jacobienne par le groupe de Weyl. Dans cet exposé je montrerai comment on peut trouver
une "filtration de Jordan-Hoelder" pour les G-torseurs semistables de degré quelconque sur une courbe elliptique
et j'expliquerai comment cela nous aide a donner une description de l'espace de modules
comme un quotient d'une puissance de la Jacobienne par un certain groupe de Weyl relatif.
-
Structures réelles et groupe des automorphismes d'une variété hyper-kählérienne compacte
Lie FU (ICJ, Lyon)
Abstract
Une structure réelle d'une variété complexe est par définition une involution anti-holomorphe. En géométrie algébrique
réelle, on s'intéresse à la finitude des structures réelles, à une relation d'équivalence naturelle près, sur une
variété complexe. Après un survol général des résultats connus (essentiellement tous en dimension 2), je montre que
c'est toujours le cas pour les variétés hyper-kählériennes compactes (de deuxième nombre de Betti différent de 5) et les
variétés d'Enriques. C'est une généralisation en dimension supérieure du résultat de Degtyarev-Itenberg-Kharlamov pour
les surfaces K3 et les surfaces Enriques. Si le temps le permet, je montrerai que le groupe des automorphismes d'une
variété hyper-kählérienne compacte est d'engendrement fini, qui répond positivement une question de Keiji Oguiso.
Il s'agit d'un travail en commun avec Andrea Cattaneo.
-
Sous-groupes pro-$p$ maximaux d'un groupe algébrique linéaire sur un corps local
Benoît LOISEL (ENS Lyon)
Abstract
On se donne un groupe algébrique linéaire connexe $G$ défini sur un corps local $k$ non archimédien,
de caractéristique résiduelle $p$. On peut relier la propriété d'anisotropie d'un tel groupe algébrique
(lorsqu'il est réductif ou unipotent) à celle de compacité de ses points rationnels. Plus précisément,
on trouve une condition algébrique sur $G$ équivalente à l'existence de sous-groupes compacts maximaux de
$G(k)$. En caractéristique zéro, c'est la situation bien connue des groupes réductifs.
En caractéristique $p$, en revanche, on est amené à introduire les groupes pseudo-réductifs.
On rappellera et on utilisera alors des théorèmes de structure de ces groupes, fournis par Conrad, Gabber et Prasad.
Plus finement, on peut alors interpréter ces sous-groupes pro-$p$ maximaux via la théorie des immeubles de Bruhat-Tits
pour obtenir des résultats de conjugaison analogues aux théorèmes de Sylow.
-
Classification des courbes algébriques réelles sur la quadrique ellipsoïde
Matilde MANZAROLI (École Polytechnique)
Abstract
La classification de types topologiques a homéomorphismes près réalisés par les courbes algébriques réelles à degré fixé
dans le plan projectif réel est un sujet classique qui a connu un essor considérable depuis 1970. Dans cet exposé,
on présentera une classification similaire pour une surface ambiante différente: la quadrique ellipsoïde.
On exposera le problème de faire une classification des types topologiques réalisés par des courbes algébriques
réelles non-singulières de bidegré fixé (d,d) dans cette surface, quels sont les types topologiques possibles et
comment on peut construire des courbes algébriques réelles qui les réalisent.
Finalement, on présentera une version du théorème de Patchwork de Viro (T-construction) et/ou on donnera
des exemples de constructions.
Schedule
| Thursday |
Friday |
|
09:00-10:00
ANCONA |
10:15-11:15
FRATILA |
10:30-11:30
BRION |
11:30-12:30
FU |
| Lunch |
Lunch |
14:00-15:00
LOISEL |
|
15:30-16:30
MANZAROLI |
17:00-18:00
BENOIST |
18:30 - Social Buffet
|
Practical Informations
Organizers
Ronan Terpereau, Rémi Bignalet-Cazalet, Frédéric Déglise, Adrien Dubouloz (IMB).
Sponsors
