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Aspects quadratiques de l'homotopie motivique
Baptiste Calmès
Résumé
Les formes quadratiques jouent un rôle structurel en homotopie motivique, dont la découverte remonte au théorème de Morel
identifiant les endomorphismes du point dans la catégorie homotopique stable sur un corps avec l'anneau de Grothendieck-Witt de ce corps.
Je donnerai un panorama des différentes catégories motiviques mettant en jeu des formes quadratiques considérées dans le livre ``Milnor-Witt motives'',
écrit en commun avec T. Bachmann, F. Déglise, J. Fasel et P.A. Østvær.
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Complexes duaux motiviques et $\mathbb{A}^1$-homotopie à l'infini
Mattia Cavicchi
Résumé
Quand $D$ est un diviseur à croisement normaux dans une variété lisse sur $\mathbb{C}$,
le complexe d'incidence (ou complexe dual) de $D$ est un certain ensemble simplicial défini à partir de la combinatoire des
intersections multiples des composantes irréductibles de $D$.
L'une des raisons pour s'intéresser à ce complexe vient du fait que les groupes de cohomologie singulière de
sa réalisation topologique coïncident avec les gradués de poids zéro de la structure de Hodge mixte sur la cohomologie
singulière de $D$. Le but de cet exposé "spéculatif" est de présenter la version motivique de ce complexe dual, construite récemment
par Ivorra et Sebag, et de proposer l'étude de quelques questions naturelles concernant le type d'$\mathbb{A}^1$-homotopie de cet objet,
ainsi que sa relation avec le type d'$\mathbb{A}^1$-homotopie stable à l'infini de Déglise-Dubouloz-Ostvaer
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Introduction au projet HQDIAG
Frédéric Déglise
Résumé
Dans cet exposé introductif, je présenterai les trois thèmes du projet HQDIAG (et la signification de cet acronyme!), centrés autour de l'$\mathbb{A}^1$-homotopie:
- décompositions motiviques et motifs abéliens
- invariants quadratiques et applications arithmétiques
- étude géométrique des singularités
J'essayerai surtout de préparer les exposés qui suivront et de montrer les liens entre ces trois thèmes.
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Autour du voisinage tubulaire épointé stable
Adrien Dubouloz
Résumé
Je présenterai quelques aspects de la notion de voisinage tubulaire épointé d'un sous-schéma fermé d'un schéma sur corps, vu comme objet
dans la catégorie $\mathbb{A}^1$-homotopique stable. Dans la situation de schémas lisses sur un corps, cette notion se comporte
comme l'analogue motivique du type d'homotopie stable topologique du fibré normal unitaire d'une sous-variété differentiable d'une
variété différentiable. Je donnerai un apperçu des méthodes de "plomberie motivique" à base d'hyper-descente pour des recouvrements fermés
permettant de décrire dans certaines situations, typiquement celles de diviseurs $D$ à croisement normaux simples dans un schéma régulier,
ce voisinage tubulaire épointé comme cofibre homotopique d'un diagramme faisant intervenir le complexe d'incidence de $D$ et
les fibrés normaux des strates d'intersections.
Je passerai ensuite en revue quelques applications envisagées ou en cours -type d'$\mathbb{A}^1$-homotopie stable à l'infini d'un schéma ouvert,
calcul "d'entrelacs motiviques" de singularités isolées de surfaces, "entrelacement motivique" de sous-schémas d'un schéma fixé- et quelques
perspectives de nature beaucoup plus spéculatives -fibre de Milnor $\mathbb{A}^1$-homotopique stable des singularités isolées d'hypersurfaces,
voisinage tubulaire épointé instable en direction de la conjecture de Poincaré $\mathbb{A}^1$-homotopique instable sur la caractérisation des espaces affines, ...-.
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Catégories abéliennes de motifs mixtes, d'après Nori
Sophie Morel
Résumé
Je présenterai d'abord l'approche de Nori pour construire une catégorie abélienne de motifs mixtes sur un sous-corps de $\mathbb{C}$,
et j'expliquerai comment elle se compare aux autres approches. Je parlerai ensuite de la généralisation de cette approche à une base plus générale,
qui donne une catégorie de faisceaux pervers motiviques, et de la construction des 6 opérations de Grothendieck dans ce contexte.
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Variétés ouvertes et formes quadratiques pour les valeurs spéciales de fonctions $L$
Riccardo Pengo
Résumé Notes d'exposé
L'existence d'une catégorie abélienne/triangulée des motifs mixtes a été envisagée par Beilinson, comme le cadre naturel pour ses
conjectures concernant les valeurs spéciales de fonctions $L$. L'objectif de l'exposé sera de lier ces conjectures aux deux thèmes principaux du projet HQDIAG.
Premièrement, je parlerai des liens entre régulateurs sur les variétés ouvertes et valeurs spéciales, avec l'exemple principal du tore,
lié à la mesure de Mahler des polynômes, et à un travail en cours avec François Brunault. Deuxièmement, je parlerai du travail de Kylling, Röndigs et Østvær,
qui lie la K-théorie hermitienne d'un corps de nombres totalement réel aux valeurs spéciales de sa fonction zêta,
et des possibles généralisations aux variétés de dimension supérieure définies sur un corps de nombres totalement réel. En particulier,
je mentionnerai aussi des connexions possibles avec la théorie des périodes univalués, décrite par Francis Brown et Clément Dupont.
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Motifs d'Artin étales à coefficients entiers, voyage au pays des t-structures
Raphaël Ruimy
Résumé
La question de la $t$-structure motivique est une question centrale de la théorie des motifs :
construire une $t$-structure motivique sur la catégorie $DM(k,\mathbb{Q})$ est équivalent aux conjectures standard.
Cependant, Orgogozo a montré que la sous-catégorie de $DM(k,\mathbb{Q})$ engendré par les motifs des extensions galoisiennes de $k$ est
équivalente à la catégorie dérivée d'une catégorie de représentations du groupe de Galois absolu de $k$.
On s'intéressera d'abord à une extensions de ce résultat sur une base régulière et à coefficients entiers pour la catégorie des motifs d'Artin étales.
On présentera ensuite les résultats d'Ayoub et Zucker sur le formalisme des six foncteurs et les écueils pour étendre ces résultats à coefficients entiers.
On expliquera ensuite comment construire une $t$-structure sur les motifs étales non-constructibles.
On discutera enfin de la restriction de cette $t$-structure aux motifs constructibles. Plusieurs directions sont possibles selon les questions :
cas des courbes, cas des coefficients rationnels, contre-exemples en dimension supérieure...