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Salle 316 B, Labo de Maths de Besançon, bâtiment métrologie, UFR Sciences et Techniques, 16 route de Gray.
Abstract: Classical Schubert calculus is a set of tools for computing degrees of intersections of Schubert varieties in Grassmannians. It can be used to answer enumerative geometry questions concerning intersections of subspaces of a vector space, at least over algebraically closed fields; the most classical such question is "How many lines in projective 3-space meet four given lines in general position?" Over general fields, like the real numbers, the answer is more complicated because some of the solution vector spaces may not be defined over the given field. To solve this issue, real enumerative geometry counts solutions with signs depending on additional orientations of the vector spaces to obtain refined information, such as lower bounds for the numbers of solutions. In the talk I will explain a refinement of the classical Schubert calculus which allows to compute the Chow-Witt rings of Grassmannians. In this refinement, the "number" of solution subspaces is a quadratic form which encodes both the classical answer (the number of solutions over the algebraic closure) as well as the signed counts from real enumerative geometry.
Résumé : La mesure de Mahler d'un polynôme $P$ en une variable est définie comme la moyenne géométrique de P sur le cercle unité. Cette définition se généralise de manière naturelle aux polynômes en plusieurs variables. Suite à des travaux de Deninger, Boyd a conjecturé que pour certains polynômes en 2 variables définissant des courbes elliptiques, la mesure de Mahler est reliée à la fonction $L$ de la courbe elliptique. À l'heure actuelle, on ne sait démontrer ces relations que dans un nombre fini de cas particuliers. Bertin a établi des identités similaires pour des polynômes en 3 variables définissant des surfaces $K3$. Dans cet exposé, j'expliquerai une nouvelle méthode pour calculer la mesure de Mahler d'un polynôme en 3 variables définissant une surface elliptique modulaire. J'indiquerai aussi comment obtenir des équations de surfaces elliptiques, à l'aide de symboles de Milnor dans le groupe $K_2$ de la surface. Il s'agit d'un travail en commun avec Michael Neururer.
Résumé: Les bornes de Sturm indiquent combien de coefficients de Fourier suffisent à déterminer une forme modulaire. Pour les formes modulaires classiques, elles fournissent aussi des bornes sur les générateurs de l'algèbre de Hecke. Cet exposé propose de passer en revue la situation pour les différentes notions de formes modulaires sur les corps de fonctions. Il s'agit d'un travail en commun avec Fu-Tsun Wei.
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