Courbes modulaires $X_1(n)$ et surfaces elliptiques modulaires, théorie des matroides et applications
Xavier Roulleau (Angers)
Résumé : Les matroides sont des objets de nature combinatoire, qui penvent par exemple encoder les incidences d'arrangements de droites ou de points du plan.
La courbe elliptique modulaire $X_1(n)$ paramètre à isomorphisme près les paires $(E,t)$ où $E$ est une courbe elliptique et où $t$ est un point de torsion d'ordre $n$.
La surfaces elliptique modulaire au dessus de $X_1(n)$ est une surface munie d'une fibration dans $X_1(n)$ dont la fibre au-dessus du point $(E,t)$ est (isomorphe à)
la courbe $E$. Les courbes $X_1(n)$ sont biens connues, elles s'obtiennent par uniformisation complexe : $X_1(n)$ est quotient du demi plan par l'action d'un
groupe de congruence, $\Gamma_1(n)$. Les surfaces elliptiques modulaires ont été construites par Shioda, également par uniformisation complexe.
Dans cet exposé j'expliquerai comment il est aussi possible d'obtenir à l'aide de la théorie des matroides un modèle entier des courbes $X_1(n)$ et des
surfaces elliptiques modulaires. Cette construction permet d'obtenir les relations polynomiales explicites entre formes modulaires de poids $1$ sur le groupe $\Gamma_1(n)$.
Travaux en partie en collaboration avec Lukas Kühne et avec Lev Borisov.