Lieux de zéros et actions de tores: Grassmanniennes bisymplectiques

Vladimiro BENEDETTI (Aix-Marseille Université)

Les lieux de zéros de sections de fibrés vectoriels sur les grassmanniennes peuvent être utilisés pour construire des variétés intéressantes : par exemple, en font partie les deux familles de variétés hyper-kahlerienne de Beauville-Donagi et Debarre-Voisin. Dans cet exposé je présenterai une classe particulière de lieux de zéros Fano, les grassmanniennes bisymplectiques (I2G). Les grassmanniennes bisymplectiques, qui paramétrisent les sous-espaces d'un espace vectoriel isotropes par rapport à deux formes antisymétriques, admettent une action d'un tore T avec un nombre fini de points fixes. Quand les sous-espaces sont de dimension maximale, on obtient une variété homogène (produit de P^1) dont on connaît bien la cohomologie, alors que dans le cas général I2G n'est pas homogène. Pourtant, on peut encore en étudier la géométrie et la cohomologie à l'aide de l'action de T (e.g., à l'aide de la décomposition en cellules de Bialynicki-Birula). En particulier, j'expliquerai comment obtenir une formule de Chevalley équivariante dans le cas où les sous-espaces sont de dimension 2, ce qui permet en principe de récupérer la cohomologie (équivariante) de I2G dans le cas le plus simple.

Degré et birationnalité des applications rationnelles multi-graduées.

Laurent BUSÉ (INRIA, Nice)

S’il existe une littérature très riche sur les propriétés des applications rationnelles entre deux espaces projectifs, notamment sur les applications birationnelles, les applications rationnelles multi-graduées, c’est-à-dire définies par des polynômes multi-homogènes, ont été moins étudiées. Dans cet exposé, je présenterai tout d’abord les problèmes de modélisation géométrique qui motivent l’étude de ces applications. Je donnerai ensuite des formules et des bornes pour leur degré, ainsi que des critères effectifs de birationnalité qui sont des généralisations de critères connus dans le cas plus classique des applications graduées.

Géométrie de la projectivisation des idéaux et applications aux problèmes de birationalité

Rémi BIGNALET-CAZALET (IMB, Dijon)

Morsification of totally real singularities of type $(3,3n)$

Andrès JARAMILLO-PUENTÈS (Université de Nantes)

A morsification of a real plane singularity is a real deformation with the maximal possible number of hyperbolic nodes. Morsifications are an important tool for the study of Dynkin diagrams, monodromy, topology of the singularity link and other characteristics of singularities.
In this talk I will address the problem of isotopy classification of morfisications of totally real singularities of type (3,3n). I will show how to obtain this classification by combinatorial means via dessins d'enfants and how it can be encoded by wiring diagrams. I will also described the classification of these morsifications up to Reidemeister moves.

Explicit rationality of cubic fourfolds

Francesco RUSSO (Université de Catane, Italie)

After reviewing the main conjectures and know results about the rationality of cubic fourfolds, we shall present some methods, ideas and explicit examples to illustrate the complexity of the problem from different points of view: birational, projective and computational. This is joint work with Giovanni Staglianò.